Родился 6 ноября 1955 года в деревне Голынка Берестовицкого района Гродненской области. В 1962-1972 годах учился в Берестовицкой средней школе. В детстве проявлял способности к математическим наукам, много читал о природе, путешествиях. Мечтал быть пограничником, серьёзно занимался гандболом. Но любовь к математике победила. В 1972-1976 годах Анатолий Гришук с удовольствием осваивал специальность «Бухгалтерский учёт» в Белорусском государственном институте народного хозяйства им. В. В. Куйбышева (г. Минск). После окончания института был направлен на работу на Гродненский мясокомбинат.

 Первого сентября 1976 года Анатолий Гришук переступил порог ставшего впоследствии родным предприятия в качестве молодого специалиста – бухгалтера. Работал экономистом, старшим финансистом, заместителем главного бухгалтера. С 1982 года – главный бухгалтер, с 1987 года – заместитель генерального директора мясомолочного объединения, с 1 сентября 1989 года – генеральный директор открытого акционерного общества «Гродненский мясокомбинат». 

Руководитель Гродненского мясокомбината главным своим достижением считает многолетнюю работу на предприятии. Здесь он работает с 1976 года, а в должности директора — с 1989 года.

Большой вклад руководителя комбината в успешную реализацию экономической стратегии оценен государством: за высокие достижения в производственной и социально-культурной сферах и значительный личный вклад в выполнение прогнозных показателей социально-экономического развития республики Беларусь А. Г. Гришук удостоен медали «За трудовые заслуги».

В 2010 году А. Гришук был удостоен нагрудных знаков «ГУСТ» и «Лидер качества», а также грамоты и ордена Русской Православной церкви преподобного Серафима Саровского ІІІ степени.

По итогам ежегодного областного конкурса «Лучший руководитель года» в Гродненской области за 2012 год Анатолий Гришук стал победителем в номинации «Лучший руководитель организации перерабатывающей промышленности».

Указом Президента Республики Беларусь №166 от 14 апреля 2014 года Анатолию Георгиевичу Гришуку присвоено звание «Заслуженный работник сельского хозяйства Республики Беларусь».

В 2016 году избран членом Совета Республики Национального собрания Республики Беларусь шестого созыва от Гродненской области (член Постоянной комиссии по экономике, бюджету и финансам).

Вся трудовая деятельность Гришука А. Г. связана с открытым акционерным обществом «Гродненский мясокомбинат». Под его профессиональным, чутким и умелым руководством создано передовое предприятие новейших технологий и высокой культуры производства, которое стало одним из ведущих в мясоперерабатывающей отрасли республики. Из интервью руководителя: «Вся моя жизнь – это мясокомбинат и коллектив единомышленников, которые любят свою работу. Из «середнячка» нам удалось сделать предприятие, которое сегодня является лидером мясопереработки в стране».

Ассортимент выпускаемой продукции ОАО «Гродненский мясомкомбинат» весьма широк – свыше 350 наименований. Номенклатура продукции, выпускаемой комбинатом, ежегодно расширяется на 10% Работает торговая марка «Гродзенскія прысмакі». Устоять перед ними и не сделать покупку весьма сложно.

Гродненский мясокомбинат оснащен технологически сложным, высокопроизводительным оборудованием. На комбинате широко применяются средства автоматизации и компьютеризации. Это практически исключает возможность технологических отклонений и гарантирует высокое качество. Для внедрения новейших технологий и высокопроизводительного оборудования, обеспечивающего изготовление конкурентоспособной продукции, еще в 90-е годы под руководством А.Гришука начала создаваться требуемая техническая основа производства.

Основные организационно-технические мероприятия были направлены на увеличение объемов производства продукции, расширение ее ассортимента и обеспечение стабильного качества, а также на освоение и внедрение современных технологий, отличающихся высокой энергоэффективностью и низким уровнем образования отходов в процессе работы. Одними из главных направлений развития предприятия стали создание дополнительных рабочих мест, увеличение производительности труда и улучшение его условий.

Руководитель ОАО «Гродненский мясокомбинат» гарантирует своим работникам не только занятость и справедливую заработную плату, но и предоставляет возможности профессионального роста, обучения и развития.

ОАО «Гродненский мясокомбинат» неизменно становится победителем самых престижных конкурсов. Например, по итогам конкурса-дегустации «ГУСТ» на лучший продукт 2010 года ОАО «Гродненский мясокомбинат» было награждено 9 дипломами в 5 номинациях, в т.ч. дипломом «Золотой ГУСТ» за стабильно высокое качество, внедрение новых технологий и широкий ассортимент выпускаемой продукции. Помимо этого, коллектив комбината получил сертификат на право нанесения знака «Натуральный продукт» на охлажденные полуфабрикаты.

По итогам работы за 2010 год открытому акционерному обществу «Гродненский мясокомбинат» присуждена Премия Правительства Республики Беларусь «За внедрение высокоэффективных методов управления качеством и обеспечение на этой основе выпуска конкурентоспособной продукции». Ранее, в 2003 и 2006 году, предприятие также было удостоено данной премии. А эта награда говорит о многом.

Кроме основной производственной деятельности ОАО «Гродненский мясокомбинат» под руководством и по инициативе Гришука А. Г. занимается развитием агротуризма, создает условия для активного отдыха гродненцам и гостям Гродно, занимается благотворительностью. Предприятием в 2004 году в 12 км от Гродно был создан туристический комплекс, стилизованный под панскую усадьбу XVII века с конноспортивным клубом. Агротуристический комплекс «Гарадзенскі маёнтак «Каробчыцы» стал образцом объекта агротуризма.

Анатолий Гришук был удостоен международного ордена Улыбки (2004) за благотворительную деятельность – существенную помощь детям-инвалидам, сиротам и малообеспеченным семьям.

Звания «Почётный гражданин города Гродно» Анатолий Георгиевич Гришук удостоен решением Гродненского городского Совета депутатов № 15 от 8 июля 2014 года за заслуги в производственной, общественной и благотворительной деятельности.