Родился 12 января 1942 года в селе Енисейск Бийского района Алтайского края (Россия). Мама, Копысова Александра Ивановна, и отчим Копысов Харитон Иванович, пенсионеры.

После окончания в 1961 году профессионально-технического училища № 16 в городе Нижний Тагил, Геннадий некоторое время работал на Нижнетагильском металлургическом заводе.

В 1961 году был призван в Советскую Армию.

В 1969 году окончил Томский государственный университет. В органах госбезопасности с февраля 1969 года: курсант Высших курсов Комитета государственной безопасности при Совете министров СССР (ВК КГБ при СМ СССР) (1969–1970); сотрудник КГБ при СМ Бурятской АССР (1970–1978); сотрудник управления Комитета государственной безопасности (УКГБ) по Гродненской обл. (1978–1981).

Оказывал интернациональную помощь Республики Афганистан с апреля 1981 года в качестве советника. Неоднократно принимал участие в боевых операциях, проявлял смелость и решительность.

Погиб 5 июня 1981 года при выполнении служебного задания.

Награждён медалями СССР, в том числе медалью «Воину-интернационалисту от благодарного афганского народа».

Похоронен в Гродно.

Надмогильный памятник Кузовлёву Геннадию Григорьевичу возведен на месте захоронения в 1981 году на его могиле на православном кладбище по улице Антонова.

На мемориальных плитах памятника воинам-интернационалистам (1992; угол улиц Курчатова и Горького. Скульптор Анатолий Селятыцкий) среди 79 имен, погибших в Афганистане из Гродненской области, в т.ч. Кузовлев Геннадий Григорьевич.

Памятная доска Кузовлеву Геннадию Григорьевичу установлена в здании Свято-Покровского кафедрального собора (ул. Ожешко, 23; 1993 год), в списке погибших – фамилия Кузовлева Г.Г. Текст на доске: «Воины Гродненского гарнизона погибшие в Афганистане. 1979–1989. Вечная память павшим».