Родился в октябре 1908 года в городе Знаменка Кировоградской области. Окончил механический техникум в городе Смела Черкасской области. Работал на сахарном заводе.

Окончил Одесское пехотное училище в 1929 году и был направлен в пограничный отряд села Славута Хмельницкой области, работал начальником школы младших командиров.

После окончания военной академии командовал танковым батальоном в городе Борисов. Участвовал в освободительном походе Красной Армии в Западную Белоруссию в 1939 году.

В боях за Гродно танковый батальон под командованием майора Ф. И. Квитка прокладывал дорогу для наступающей пехоты в самых опасных участках, разрушая укрепления и огневые точки врага. Танки майора Квитка прорвались в занеманскую часть города с правобережной стороны и завязали бой в районе табачной фабрики и стеклозавода, орудийным огнём обеспечивая подход пехоты. На одной из улиц города, находясь во главе колонны, Филипп Иванович открыл люк своей машины, чтобы подать следующим сзади танкам команду развернуться. В этот момент его ранили. Квитка перенесли в подвал ближайшего дома и комиссар батальона Калиниченко уехал за санитарной машиной. Когда он вернулся, Квитка в этом доме уже не было, а через 2 дня, окончательно овладев городом, танкисты нашли тело своего командира в Новом замке.

Погиб в бою за Гродно 20 сентября 1939 года. Похоронен на воинском кладбище города Гродно (ул. Победы).

Именем Ф. И. Квитка названа улица в Гродно.

Надмогильный памятник Квитка Филиппу Ивановичу возведен в 1940 году на его могиле на воинском кладбище по улице Победы. Текст: «Погибшему в бою за освобождение трудящихся Западной Белоруссии в Гродно майору РККА тов. Квитко Ф.И. 1908–1939».

В 2021 году было получено электронное письмо от правнука Квитка Филиппа Ивановича Артёма Квитка с просьбой уточнить правильное написание фамилии прадеда. Фамилия Квитко в тексте биографии исправлена на фамилию Квитка.