Родился 10 марта 1938 года в деревне Тивновичи Бобруйского района Могилевской области. В свидетельстве местом рождения записан колхоз «1 Мая». Отец Павел Степанович, создававший это коллективное хозяйство, был увлечён работой – и запись о месте рождения сына другой быть не могла.

Фёдор Павлович относится к поколению «детей войны». Он помнит, как вместе с братом пытались поджечь свой дом, где в тот момент находились немецкие офицеры, а потом босиком убегали огородами, проваливаясь по шею в снег, как фашистский комендант избивал плетью маму, требуя отдать винтовку, а затем приказывал убегать, открывая беспорядочную стрельбу из пистолета.

Отец умер во время немецкой оккупации в 1943 году. Старший брат сначала ушёл в партизаны, а потом был призван в армию. Ушли служить ещё два брата. Матери было трудно – Федя всегда старался ей помочь. Летом третьеклассник зарабатывал трудодни в колхозе, ему доверяли лошадь – приходилось бороновать и окучивать картофель. Школа была за семь километров в деревне Сычково Бобруйского района. Когда наступали холода, нужно было приносить в класс пару поленьев дров.

Учился в Бобруйском автодорожном техникуме (1952–1956). Фёдор Павлович помнит слова мамы Татьяны Григорьевны, которая провожала его после окончания техникума в Гродно на службу: «Не во вред службе не обижай людей, сынок. Будь как наш участковый». Материнский наказ стал главным жизненным принципом служения офицера в органах милиции в званиях от младшего лейтенанта до генерал-майора.

В 1956 году был направлен в государственную автомобильную инспекцию (ГАИ) управления внутренних дел (УВД) Гродненского облисполкома. Обучался на трёхмесячных сборах в Новочеркасске (1957) Ростовской области и 1 марта 1958 года был назначен старшим государственным инспектором Щучинского межрайонного участка ГАИ.

Младшему лейтенанту предстояло обслуживать четыре района: Щучинский, Желудокский, Василишковский и Мостовский. Фёдор Павлович боролся с правонарушителями, требовал хорошего состояния автомобилей, соблюдения правил дорожного движения. Своей принципиальностью и трудолюбием снискал авторитет среди руководителей районов, хозяйств, владельцев транспорта и жителей. Часто выступал в коллективах, домах культуры на тему безопасности дорожного движения.

Фёдор Павлович стремился совершенствовать профилактическую работу, сделать её более эффективной. Возникла идея снять короткометражный фильм на местном материале. Выезжая на дорожно-транспортные происшествия, брал с собой кинокамеру «Красногорск». Первая кинематографическая работа была удачной – фильм «Смотри. Думай. Решай» (1967) несколько раз показывали на телевидении, потом молодёжи в деревенских клубах. Убедительными были передвижные фотовыставки на огромных щитах, демонстрация искорёженных в ДТП легковых автомобилей.

Вместе с режиссёром Шаповаловым (г. Киев) в 1975 году был создан широкоэкранный фильм «Неоконченный рейс». Озвучить фильм помогли на «Беларусьфильме». В основу его легли два ДТП со смертельным исходом в Волковыске и Островецком районе. Фильм произвёл большое впечатление на Всесоюзном совещании по безопасности дорожного движения в Москве – его одобрили режиссёры киностудий имени Горького, Довженко, Мосфильма.

За три года и четыре месяца службы в Щучине Ф. П. Гудей не знал выходных дней. Не имея служебного транспорта, на попутных машинах ездил из одного района в другой, чтобы контролировать состояние техники, регистрировать её, проводить технические осмотры, принимать экзамены на водительских курсах, проводить профилактическую работу с водителями.

В конце 1959 года в отдел милиции дали ещё одного сотрудника, в середине 1960 года – второго. В распоряжении ГАИ появилась первая машина – подлежащий списанию в автохозяйстве УВД автомобиль «Москвич».

В 1961 году Гудея Ф.П. перевели госавтоинспектором ГАИ УВД Гродненского облисполкома, где он прослужил четыре года.

В 1965 году заочно окончил Минское отделение факультета заочного обучения Высшей школы МВД СССР (с 1 сентября 1995 года – Академия МВД Республики Беларусь).

Возглавлял отделение ГАИ Гродненского района (1965–1970), управление ГАИ УВД Гродненского облисполкома (1970–1985). С 1985 по 1991 год – заместитель начальника, с 1991 по 1994 – начальник УВД Гродненского облисполкома.

По инициативе Гудея Ф.П. в отдалённых от райотделов милиции микрорайонах Гродно были созданы ещё два отделения милиции, возобновили работу опорные пункты охраны общественного порядка. Создание подразделения конной милиции решило проблему безопасности граждан не только в лесопарке Пышки, но и на окраинах города с дачными участками. Обеспечивалась безопасность при проведении массовых мероприятий.

Благодаря положительной оценке службы ГАИ со стороны руководства Гродненского областного комитета Коммунистической партии Белоруссии и облисполкома, Гродненского городского комитета Коммунистической партии и горисполкома, Гудею Ф. П. удалось в условиях недостатка финансовых средств организовать строительство комплекса зданий ГАИ на улице Белуша.

Генеральское звание было присвоено Фёдору Павловичу Гудею 29 апреля 1992 года.

Службу в МВД закончил в должности начальника УВД Гродненского областного исполнительного комитета в 1994 году.

С августа 1994 по январь 1995 года – помощник председателя облисполкома по координации работы правоохранительных органов, с 1995 по март 2005 года – председатель городского Совета депутатов.

Генерал-майор в отставке создал и десять лет возглавлял ветеранскую организацию управления ГАИ УВД Гродненского облисполкома (2006–2016).

Самой ценной наградой Фёдор Павлович считает добрую людскую память. А люди характеризуют его как надёжного человека, справедливого к коллегам, объективного в оценке событий и поступков.

Награждён медалями «За доблестный труд. В ознаменование 100-летия со дня рождения В.И. Ленина» (1969), «За отличную службу по охране общественного порядка (1971), «За безупречную службу» (I, II, III степени; 1966, 1971, 1976), «Ветеран труда» (1984), «За боевое содружество» (2006), «За ўклад ва ўмацаванне правапарадку» (2015), «За адданасць абавязку і Прысязе» (2016); знаками «Отличник милиции» (1959), «Заслуженный работник МВД СССР» (1978), знаком «За адзнаку» Академии Министерства внутренних дел Республики Беларусь (2009).

Был депутатом Гродненского городского Совета депутатов двух созывов (1995–2003 гг.).

10 ноября 2015 года решением офицерского собрания управления государственной автомобильной инспекции Министерства внутренних дел Республики Беларусь Гудей Фёдор Павлович включен в Книгу почёта Госавтоинспекции Республики Беларусь с помещением фотографии на Доску почёта управления ГАИ МВД за значительный вклад в дело становления и развития Госавтоинспекции Республики Беларусь, многолетнюю плодотворную работу по сохранению жизни и здоровья граждан страны, обеспечение высокой эффективности труда, компетентность, целеустремленность, ответственность за результаты работы, а также за активное и постоянное участие в мероприятиях, направленных на профилактику дорожно-транспортного травматизма.

Решением Гродненского городского Совета депутатов от 11 сентября 2018 года № 28 за многолетнюю безупречную службу в органах внутренних дел и государственного управления, особые заслуги в обеспечении правопорядка в Гродненской области, результативную депутатскую деятельность и активное участие в общественной жизни города Гродно Гудей Фёдор Павлович внесён в Книгу славы города Гродно.

Умер 3 октября 2019 года.