Родился 11 сентября 1885 года в местечке Понинка Волынской губернии (возле города Шепетовка) Российской империи (сейчас Полонского района Хмельницкой области, Украина). Настоящая фамилия Кочаровский (Качеровский). Его отец был крестьянином, потом рабочим бумажной фабрики. Впоследствии семья переехала в Варшаву, где отец устроился работать на железную дорогу. Получил в Варшаве специальность слесаря.

В Варшаве начался трудовой путь Адама, который ещё подростком стал работать на одном из заводов. В 1907 году он вступил в большевистскую партию, участвовал в работе культурнопросветительского товарищества «Культура». Вёл революционную работу в Баку, Харькове, Москве и других городах. В 1907 и 1909 годах арестовывался.

В 1912 году Адам поехал в Петербург и устроился слесарем на механический завод на Выборгской стороне, позже перешёл на завод «Сименс-Шуккерт» (теперь завод «Электросила»). Тут он стал активным деятелем большевистской партии, возглавил борьбу большевиков с меньшевиками и эсерами. Его избрали председателем правления рабочей столовой, что явилось важной формой легальной работы.

В февральские дни 1917 года возглавил Красную гвардию завода и всего района. Его отряд активно участвовал в вооружённой апрельской демонстрации (апрельский кризис 1917 года). Послеиюльской демонстрации (июльский кризис 1917 года) отказался выполнять приказ министра-председателя Временного правительства А. Ф. Керенского о разоружении рабочих, которое проводилось под лозунгом «Фронту необходимо оружие». Спрятанное оружие было применено для штурма Зимнего дворца в октябре.

26–31 октября 1917 года был организован поход казачьих частей 3-го кавалерийского корпуса под командованием министра-председателя Временного правительства А. Ф. Керенского и командира корпуса генерала П. Н. Краснова на Петроград с целью подавления Октябрьского вооружённого восстания и восстановления власти Временного правительства. А. Кочаровский выступил со своим отрядом против наступающих войск генерала П. Н. Краснова, участвовал в боях под Пулковом, Царским Селом и Гатчиной.

В начале 1918 года в связи с оккупацией Белоруссии немецкими войсками по указанию партии большевиков Адам Семёнович прибыл в оккупированную Белоруссию. Вместе с другими большевиками он создал подпольные партийные организации, вошёл в состав Минского подпольного районного комитета Российской коммунистической партии большевиков (РКП(б)). В это время поменял документы, взял фамилию Славинский, жил и работал в Белоруссии под этой фамилией. В августе 1918 года на конференции в Смоленске был избран Краевой комитет коммунистических организаций для руководства работой в оккупированных областях Белоруссии и Литвы. Славинский вошёл в его состав.

Оккупация Беларуси германскими войсками продолжалась до декабря 1918 года. После освобождения Минска от немецких оккупантов А. Славинский был начальником минской милиции, а потом возглавлял губернский комиссариат внутренних дел.

В начале Советско-польской войны (1919–1921) после вторжения польских войск на территорию Белорусской республики Славинский был назначен комиссаром 52-й Западной стрелковой дивизии. Во время июльских боёв на подступах к Минску он шёл впереди контратакующих, усталых и обессилевших красноармейцев. В одном из таких боёв Славинский был ранен в ногу и попал в госпиталь.

После лечения А. Славинского направили на оккупированную территорию, где он с другими коммунистами организовал партийное подполье, участвовал в создании партизанских отрядов в Минской губернии. Опыт подпольной работы, хладнокровие и выдержка Славинского вселяли и поднимали боевой духу всех, кто его окружал. Позже в 1928 году Адам Семёнович вместе с другими активными участниками партизанского движения (с В. И. Талашом) был награждён орденом Красного Знамени.

Когда в мае 1920 года начались активные действия Западного фронта против польских оккупантов, Славинского назначили начальником политотдела 57- стрелковой дивизии. После горячих боёв под Речицей, Мозырем и другими населенными пунктами дивизия участвовала в освобождении Гродненщины. Красная Армия стремительно двигалась вперёд.

19 июля воины 4-й армии освободили Гродно, 20 июля был создан Гродненский военно-революционный комитет, во главе которого партия назначила Адама Славинского. В городах и сёлах Гродненщины началась организованная работа по восстановлению и укреплению советской власти.

В Гродно многие фабрики и заводы были закрыты, а их оборудование вывезено. Уже в конце июля отдел промышленности Гродненского ревкома подготовил доклад о состоянии промышленных предприятий города, а 15 августа был создан Гродненский районный Совет народного хозяйства (совнархоз), который начал налаживать производство. Ревком провёл значительную работу и в области культурного строительства.

После подписания Рижского мирного договора в 1921 году, по которому западные территории Беларуси отошли к Польше, Адам Славинский отступал вместе с Красной Армией, а после окончания Гражданской войны перешёл на партийную и советскую работу в Минске.

С 1921 до 1924 года А. Славинский работал народным комиссаром земледелия БССР, потом – в аппарате центрального комитета Коммунистической партии большевиков Белоруссии (ЦК КП(б)Б), председателем Международной организации помощи борцам революции (МОПРа) БССР, секретарём Минского округкома партии, наркомом труда БССР.

В 1924–1928 годах Славинский был представителем Коммунистической партии Западной Белоруссии (КПЗБ) при ЦК КП(б)Б, на I съезде КПЗБ (1928) был избран членом его ЦК. Кроме того, Адам Славинский долгие годы был тесно связан с Коммунистической партией Польши (КПП), с III съезда (1925) участвовал во всех её съездах и конференциях, избирался в Центральный Комитет. В 1930–1936 годах входил в Политбюро ЦК КПП.

Некоторое время Славинский работал в аппарате исполкома Коминтерна, а в 1933–1937 годах был начальником политотдела Московско-БелорусскоБалтийской железной дороги. Его неоднократно избирали членом ЦК КП(б)Б. ЦКК ВКП(б) и ЦИК БССР. Был делегатом XVII съезда ВКП(б), который проходил вМоскве с 26 января по 10 февраля 1934 года.

По лживому обвинению 9 июля 1937 года А. С. Славинский был арестован. 3 ноября 1937 года Военной коллегией Верховного суда СССР приговорён к высшей мере наказания и через несколько дней расстрелян. Его обвинили в измене Родине и участии в антисоветской шпионско-диверсионной деятельности. Место захоронения – спецобъект НКВД расстрельный полигон «Коммунарка». Реабилитирован 24 апреля 1955 года. Позже его именем были названы улицы в Гродно и Минске, а также деревня в Гомельской области – Славинск.

Постановлением от 31 июля 1968 года № 149 исполкома Гродненского городского Совета депутатов трудящихся и бюро Гродненского горкома КПБ участник Октябрьского вооружённого восстания и установления советской власти в Белоруссии, председатель Гродненского военно-революционного комитета Славинский Адам Семёнович занесён в Книгу народной славы города Гродно.