Родился 17 июля 1958 года в деревне Большие Иодковичи Берестовицкого района Гродненской области в семье колхозников. Родители приучали его к работе: прополке грядок, уборке овощей. С ранних лет у Генриха Иосифовича сформировалось уважение к труду.

Генрих окончил восьмилетнюю школу в родной деревне в 1973 году. В 1977 году окончил Новогрудский сельскохозяйственный техникум по специальности «Агрономия» и некоторое время работал землеустроителем (с марта по май 1977 года). Затем был призван в армию. С 1977 по 1979 год служил в рядах Вооружённых Сил БССР (командир танка в танковых войсках, г. Слуцк). Демобилизовался в звании сержанта.

С 1979 по 1980 год работал агрономом участка в колхозе имени А. М. Воронецкого Берестовицкого района Гродненской области. Часто приезжал на объединение «Азот» за удобрениями.

Для Генриха Иосифовича Богушевича переломным моментом в судьбе оказалась встреча с будущей женой Вацлавой Тадеушевной, которая жила и работала в Гродно. Пришлось ему сменить и место жительства, и место работы. Устроился работать на производственное объединение «Азот» по совету дяди Казимира Зеноновича Богушевича, который много лет трудился на этом крупном предприятии.

Первые должность и место работы Генриха Иосифовича – машинист аммиачнохолодильных установок цеха аммиака № 2 второй очереди Гродненского производственного объединения «Азот» им. С. О. Притыцкого (1980–1983 годы). Начальник цеха В. Д. Никифоров посоветовал через некоторое время Богушевичу Г. И. стать аппаратчиком очистки газа цеха аммиака (1983–1995 годы). Появились дополнительные обязанности и ответственность, однако Генрих Иосифович быстро освоился в новом деле.

С 1995 по 2000 год был аппаратчиком очистки газа цеха метанола Гродненского ПО «Азот», с 2000 по 2001 год – Гродненского производственного республиканского унитарного предприятия «ГПО Азот».

С 2001 по 2002 год – оператор дистанционного пульта управления в химическом производстве цеха метанола Гродненского производственного республиканского унитарного предприятия «ГПО Азот», с 2002 по 2007 год – открытого акционерного общества (ОАО) «ГПО Азот».

С 2007 года – помощник мастера цеха метанола ОАО «Гродно Азот».

Активный, целеустремлённый Генрих Иосифович старается быть в гуще всех производственных дел. Его жизненный девиз – к любой проблеме относиться спокойно. В химическом процессе, считает Г. И. Богушевич, необходимо предусмотреть сложные ситуации, заранее добросовестно продумать действия по ихразрешению, ни в коем случае не перекладывая ответственность на других.

Генрих Иосифович – опытный наставник для начинающих специалистов, он умеет найти подход к людям, заинтересовать их, охотно передаёт знания, мастерство молодому поколению. Его профессиональные умения и отношение к работе – пример того, каким должен быть рабочий человек на современном крупном предприятии.

За время работы на ОАО «Гродно Азот» у Богушевича Г. И. прошли обучение и стажировку семь молодых специалистов. Все обученные повысили свои квалификационные разряды и перешли на более ответственные участки работы. Коллеги считают Богушевича Г. И. добрым, уверенным в своих силах человеком, уважают его. За трудовые достижения Г. И. Богушевич неоднократно поощрялся: получал благодарности от администрации, почётные грамоты ОАО «ГПО Азот». В 1986 году комитет комсомола ПО «Азот» наградил его грамотой ВЛКСМ за активное участие в общественной жизни комсомольской организации цеха.

В 1987 году он получил первую грамоту за профессиональное мастерство, отработав на предприятии всего семь лет. В 2003 году был награждён почётной грамотой концерна «Белнефтехим», в 2007 году его кандидатура была занесена на Доску почёта, в 2009 году ему вручён знак «Почётный химик». В 2011 году Генрих Иосифович был награждён медалью «За трудовые заслуги».

Решением Гродненского городского Совета депутатов от 11 июля 2012 года № 156 помощник мастера цеха метанола ОАО «Гродно Азот» Богушевич Генрих Иосифович за многолетний добросовестный труд в отрасли химической промышленности и личный вклад в развитие ОАО «Гродно Азот» внесён в Книгу славы города Гродно.